题目描述：
数列极限是考研数学中经常出现的一个考点。下面介绍几种常见的数列极限类型，以及求解方法及注意事项。
一、$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}=0$
这是数列极限中最简单的一种情况。因为当 $n$ 增大时，$\dfrac{1}{n}$ 的值越来越接近 $0$。
二、$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a^n}{n!}=0$
这种情况中，$a$ 是一个常数，$n!$ 表示 $n$ 的阶乘。求解此类极限需使用到泰勒展开式，具体方法如下：
1. 将 $a^n$ 展开为其自然指数幂形式 $e^{n \ln a}$。
2. 将 $n!$ 拆解为 $\sqrt{2\pi n}(\dfrac{n}{e})^n$。
3. 利用 $\ln n!=\sum\limits_{k=1}^n\ln k$ 进行变形，即 $\ln \dfrac{n!}{n^n}=\sum\limits_{k=1}^n\ln \dfrac{k}{n}$。
4. 将 $\dfrac{a^n}{n!}$ 用 $e$ 表示并利用第三步所得式子进行变形，得到 $\dfrac{a^n}{n!}=e^{n\ln a\sum\limits_{k=1}^n\ln \dfrac{k}{n}}$。
5. 根据上式，不难发现当 $n \to \infty$ 时，$e^{n\ln a\sum\limits_{k=1}^n\ln \dfrac{k}{n}}$ 的值趋近于 $0$。
6. 因此，$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a^n}{n!}=0$。
需要注意的是，在进行第三步变形时，需要使用到洛必达法则，即 $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\ln(n 1)\ln n}{\dfrac{1}{n}}=1$。
三、$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a}=1$
这里 $a$ 是一个常数，求解此类极限需使用到摩尔根定理，即 $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a}=1$，如果 $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\sqrt[n]{a}1}{\dfrac{1}{n}}=L$ 存在，则 $L=\ln a$。具体方法如下：
1. 将 $\sqrt[n]{a}1$ 简化为 $\dfrac{a1}{\sqrt[n]{a^{n1}} \sqrt[n]{a^{n2}} \cdots a^{1/n}}$。
2. 将 $n$ 次根式中的每一项都用 $1$ 代替。
3. 根据摩尔根定理，有 $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a1}{n}=L$，即 $L=\ln a$。
四、$\lim\limits_{n\to\infty}(1 \dfrac{1}{n})^n=e$
此类极限为指数函数极限，求解方法如下：
1. 先确定 $\lim\limits_{n\to\infty}(1 \dfrac{1}{n})^n$ 是否存在。
2. 取 $\ln$ 对数，得到 $\ln\lim\limits_{n\to\infty}(1 \dfrac{1}{n})^n=\lim\limits_{n\to\infty}n\ln(1 \dfrac{1}{n})$。
3. 将 $\ln(1 \dfrac{1}{n})$ 进行泰勒展开，即 $\ln(1 \dfrac{1}{n})=\d